Barbara
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UN RAPPEL SUR LES CONCEPTS ESSENTIELS ET LES OPÉRATIONS POUR LA SCIENCE DES DONNÉES
Introduction
Dans un article précédent, nous avons introduit quelques opérations et concepts fondamentaux pour l’algèbre linéaire. Cela incluait les vecteurs et les matrices, ainsi que la transposée, le produit scalaire et les opérateurs de multiplication de matrices. Dans cet article, nous allons présenter des concepts complémentaires à ceux discutés précédemment.
L’INDÉPENDANCE LINÉAIRE
Avant de définir l’indépendance linéaire, nous devons d’abord définir la dépendance linéaire. En somme, une séquence de vecteurs est linéairement dépendante si au moins l’un d’entre eux peut être écrit comme une combinaison linéaire des autres.
Pour être linéairement dépendante, il faut donc que la séquence de n vecteurs v₁, v₂,⋯,vₙ qui constituent les colonnes d’une matrice V satisfassent :
Condition pour la dépendance linéaire (image par l’auteur).
avec 0 qui désigne le vecteur nul et au moins l’un des aᵢ qui n’est pas égal à zéro. Ceci est important car sans cette condition, on pourrait simplement mettre tous les a à zéro et obtenir le résultat.
DETERMINANT
Le déterminant est une valeur scalaire qui est une fonction des éléments d’une matrice carrée. Si la dimension de la matrice est petite, le déterminant est assez facile à calculer à la main.
Par exemple, si A est une matrice 2 × 2, dans ce cas, le déterminant est simplement :
Le déterminant d’une matrice 2 × 2 (image par l’auteur).
RANG
Définitionnellement, le rang d’une matrice détermine le nombre maximal de colonnes linéairement indépendantes; bien plus formellement, il correspond à la dimension de l’espace vectoriel engendré par ses colonnes. En général, nous voulons que les matrices aient un rang complet car cette condition implique qu’il n’y a pas de redondance entre les vecteurs colonnes.
MATRICE INVERSE
Définitionnellement, une matrice carrée A n × n est considérée inversible s’il existe une autre matrice B carrée n × n qui garantit que la condition suivante est remplie :
Conclusion
Cet article de blog fournit un bref rappel sur quelques concepts essentiels en algèbre linéaire. Les concepts discutés ici sont essentiels pour les scientifiques de données car ils sont couramment utilisés dans la construction de modèles mathématiques. Dans les prochains articles du blog, nous examinerons comment ces concepts, ainsi que ceux présentés dans mon précédent texte, sont appliqués lors de la construction de modèles de régression linéaire. Restez à l’écoute !
Sources :
– A Primer on Linear Algebra: Part 2 | by Rob Taylor | Apr, 2023
– Viktor Forgacs on Unsplash
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