Mesure (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir mesure.

En mathématiques, une mesure positive (ou simplement mesure quand il n'y a pas de risque de confusion) est une fonction qui associe une « longueur », un « volume » ou encore une « probabilité » à certaines parties d'un ensemble donné X. Il s'agit d'un important concept en analyse et en théorie des probabilités.

L'étude des espaces munis de mesures est l'objet de la théorie de la mesure.

[modifier] Définition

Formellement, une mesure μ est une fonction qui associe à chaque élément S d'une σ-algèbre (ou tribu) de parties de X une valeur μ(S), qui est un réel positif ou l'infini.

Définition — Soit un espace mesurable (i.e. un couple où est un ensemble et est une tribu sur ).

Une application μ définie sur à valeurs dans est appelée mesure lorsque les deux propriétés suivantes sont satisfaites :

• L'ensemble vide a une mesure nulle :

• L'application μ est σ-additive : si E₁, E₂, … est une famille dénombrable de parties de X appartenant à et si ces parties sont deux à deux disjointes, alors la mesure μ(E) de leur réunion E est égale à la somme des mesures des parties :

^[1]

[modifier] Terminologies connexes

• Lorsqu'on dispose d'une mesure μ sur un espace mesurable , on dit que le triplet est un espace mesuré^[2] ;

• Pour S ensemble mesurable (c'est-à-dire pour ), la valeur μ(S) est appelée la mesure de S^[3] ;

• Lorsque μ(X) est fini, on parle de mesure finie ou mesure bornée^[1] ;

• Lorsque μ(X)=1, on parle de mesure de probabilité. Le triplet est alors appelé un espace probabilisé. Voir pour ce cadre l'article axiomes des probabilités^[1].

• Lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire, plus formellement, lorsqu'il existe une suite d'éléments de la tribu, tous de mesure finie, avec

on parle de mesure -finie^[4]. Quitte à remplacer chaque par on peut supposer que la suite de sous-ensembles figurant dans la définition est croissante pour l'inclusion^[5].

• Un sous-ensemble S de X est dit négligeable lorsqu'il est inclus dans un T appartenant à la tribu et de mesure nulle^[6].

• La mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable appartient à la tribu ^[7].

[modifier] Propriétés

Les propriétés suivantes s'obtiennent sans mal à partir des axiomes précédents^[8] :

• Additivité : Si E₁ et E₂ sont deux ensembles mesurables disjoints, µ(E₁ ∪ E₂) = µ(E₁) + µ(E₂).
• Monotonie : Si E₁ et E₂ sont deux ensembles mesurables tels que E₁ est un sous-ensemble de E₂, alors μ(E₁) ≤ μ(E₂).
• Continuité à gauche : Si E₁, E₂, E₃, ... sont des ensembles mesurables et si E_n est un sous-ensemble de E_n+1 pour tout n, alors la réunion E des ensembles E_n est mesurable et μ(E) = lim μ(E_n).
• Continuité à droite : Si E₁, E₂, E₃, ... sont des ensembles mesurables et si, pour tout n, E_n+1 est un sous-ensemble de E_n, alors l'intersection E des ensembles E_n est mesurable ; de plus, si au moins l'un des ensembles E_n a une mesure finie, alors μ(E) = lim μ(E_n).

[modifier] Exemples

Voici quelques exemples importants de mesure :

• La mesure de dénombrement (ou mesure de comptage) est définie par μ(S) = nombre d'éléments dans S^[9].
• La mesure de Dirac μ_a associée à un point a de X est définie par μ_a(S) = χ_S(a), où χ_S la fonction indicatrice de S. En d'autres termes, la mesure d'un ensemble est égale à 1 si celui-ci contient le point a et à 0 sinon.
• La mesure de Lebesgue (restreinte aux boréliens) est l'unique mesure invariante par translation définie sur la tribu borélienne de et telle que μ([0,1]) = 1.
• La mesure de Haar sur un groupe topologique localement compact est une généralisation de la mesure de Lebesgue, également caractérisée par une propriété d'invariance.
• La mesure de Hausdorff est utilisée dans l'étude des fractales.

[modifier] Généralisation

Dans certains contextes, notamment pour exposer la construction de mesures à partir de leurs valeurs sur des classes d'ensembles plus petites que des tribus, il est agréable de disposer d'une définition plus générale pour énoncer brièvement divers résultats ; selon les sources le mot « mesure » est employé pour des fonctions vérifiant la propriété d'additivité dénombrable sur des algèbres d'ensembles, anneaux d'ensembles voire semi-anneaux d'ensembles. Plus généralement, on pourra donc poser^[10] :

Définition — Soit un ensemble et un ensemble de parties de contenant l'ensembe vide :

Une application μ définie sur à valeurs dans est appelée mesure lorsque les deux propriétés suivantes sont satisfaites :

• L'ensemble vide a une mesure nulle :

• L'application μ est σ-additive : si E₁, E₂, … est une famille dénombrable de parties de X appartenant à , si ces parties sont deux à deux disjointes et si leur réunion E est aussi un élément de , alors la mesure μ(E) de cette réunion est égale à la somme des mesures des parties :

.

Dans certains cas, il est utile d'avoir une « mesure » dont les valeurs ne sont pas restreintes aux réels positifs et à l'infini. Par exemple, une fonction σ-additive définie sur des ensembles et qui prend des valeurs réelles est appelée mesure signée, tandis qu'une telle fonction qui prend des valeurs complexes est appelée mesure complexe (en). Une mesure qui prend des valeurs dans un espace de Banach est appelée mesure spectrale ; celles-ci sont principalement utilisés en analyse fonctionnelle pour le théorème spectral.

Une autre généralisation est la notion de mesure additive ou moyenne. La définition est la même que celle d'une mesure sauf que la σ-additivité est remplacée par l'additivité finie.

[modifier] Bibliographie

Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Paris, Vuibert, coll. « Les grands cours Vuibert », octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2) 

[modifier] Notes et références

• Portail de l'analyse