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En logique aristotélicienne, le syllogisme est un raisonnement logique à deux propositions (également appelées prémisses) conduisant à une conclusion qu'Aristote a été le premier à formaliser. Par exemple, Tous les hommes sont mortels, or Tous les Grecs sont des hommes, donc Tous les Grecs sont mortels est un syllogisme; les deux prémisses (dites « majeure » et « mineure ») sont des propositions données et supposées vraies, le syllogisme permettant de valider la véracité formelle de la conclusion. La science des syllogismes est la syllogistique, à laquelle, entre autres, se sont intéressés les penseurs de la scolastique médiévale, mais aussi Antoine Arnauld, Gottfried Leibniz et Emmanuel Kant. Elle est l'ancêtre de la logique mathématique moderne et a été enseignée jusqu'à la fin du XIXe siècle.
Syllogisme est emprunté au grec συλλογισμός, composé de σύν (syn, « avec ») et λόγος (logos, « parole », « discours », « fable », « bruit », « lettres »)[1]. Le sens de logos à utiliser est tout simplement parole (désignant ici une proposition).
Syllogisme signifie donc littéralement « parole (qui va) avec (une autre) ».
Le syllogisme permet de mettre en rapport dans une conclusion deux termes, le majeur et le mineur, au moyen d'un moyen terme. Le majeur et le mineur ne doivent apparaître qu'une fois chacun dans les prémisses, le moyen terme est présent dans chaque prémisse (puisqu'il permet la mise en rapport des deux autres termes) tandis que la conclusion expose le rapport entre le majeur et le mineur, de sorte que le syllogisme est un « rapport de rapports » (expression de Renouvier, Traité). Voici un exemple de syllogisme:
| Termes | |||
|---|---|---|---|
| Prémisse majeure | moyen | majeur | |
| Tous les hommes | sont | mortels | |
| or... | |||
| Prémisse mineure | mineur | moyen | |
| Tous les Grecs | sont | des hommes | |
| donc... | |||
| Conclusion | mineur | majeur | |
| Tous les Grecs | sont | mortels | |
La syllogistique consiste à dresser la liste de toutes les formes de syllogismes correspondant à des raisonnements valides, et à étudier les liens qui existent entre ces diverses formes.
Avant de chercher à comprendre le fonctionnement des syllogismes, il faut distinguer Validité et Vérité : dire d'un syllogisme qu'il est valide, c'est affirmer que sa forme est valide. Un syllogisme est concluant quand il est valide et toutes ses prémisses sont vraies. Un syllogisme n'est jamais vrai ou faux. Ainsi, le syllogisme
est formellement valide. Il n'est, en revanche, pas concluant.
Les syllogismes sont constitués de propositions, ou affirmations faites d'un sujet (désigné par S) relié par une copule à un prédicat (désigné par P), de type
Ces propositions doivent être construites dans un ordre précis : le sujet de la conclusion, en effet, doit être présent dans une des prémisses (normalement la mineure), son prédicat dans l'autre (la plupart du temps la majeure), pour que le syllogisme soit valide. Le moyen terme (M) établit le rapport : {M est P} or {S est M} donc {S est P}.
Note : l'ordre dans lequel apparaissent les prémisses n'importe pas. L'usage est de citer en premier celle qui contient la majeure, c'est-à-dire le prédicat de la conclusion.
Il est donc exclu que le moyen terme apparaisse dans la conclusion ou que l'une des prémisses mette en relation les deux termes extrêmes (termes mineur et majeur).
En fait, la copule est introduit un rapport entre les deux concepts S et P. Ce rapport doit être appréhendé sous l'angle de la compréhension (désigne en logique l'ensemble des qualités et des caractéristiques propres à un ensemble, ou classe, d'objets) et de l'extension (l'ensemble des objets qui possèdent ces qualités et propriétés en commun). S est P doit donc se comprendre à la fois comme :
Ainsi, tous les hommes sont mortels se comprend doublement:
L'on voit donc, outre la répartition des termes au sein des prémisses, une seconde contrainte se dessiner: une proposition doit être constituée de propositions dans lesquelles le prédicat est un sur-ensemble du sujet. Un syllogisme peut donc se résumer ainsi:
Or, une table de vérité permet de vérifier que cette expression est une tautologie (au sens logique):
| M | P | S | 1 | 2 | 1 | 3 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 3 | 1 |
| [(M | ⊂ | P) | ∧ | (S | ⊂ | M)] | ⇒ | (S | ⊂ | P) | |||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Cette table de vérité doit être lue ainsi: la conjonction de « M est P » et de « S est M » implique bien que « S est P ». En effet, l'implication (portant le numéro 4 dans le tableau) est vraie quelles que soient les valeurs de M, P et S.
Le tableau vu plus haut permet de comprendre pourquoi, pour peu qu'il soit correctement construit, un syllogisme est valide formellement. Il ne permet cependant de considérer que les syllogismes dont toutes les propositions seraient affirmatives et universelles. Ce ne sont pas les seules possibilités.
Il existe en effet quatre classes de propositions, distinguées par leur qualité et leur quantité:
Ces quatre classes sont traditionnellement désignées par des lettres (depuis la scolastique médiévale, suivant une correspondance mnémotechniques):
A et O sont 2 énoncés opposés logiques (la négation de l'un appelle l'autre); E et I aussi.
Soient:
Pour retenir ces lettres: affirmo (latin « j'affirme »), nego (« je nie »).
Deux propositions disposant des mêmes sujet et prédicat peuvent s'opposer par leur qualité et/ou par leur quantité. Ainsi les oppositions qui peuvent être créées sont les suivantes :
On établit ainsi le carré logique de l'opposition des propositions.
Or, un syllogisme doit considérer la classe de ses propositions et l'ordre dans lequel elles apparaissent pour rester valide : le schéma [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P) ne suffit pas, ne serait-ce parce que l'on a parfois à faire à des exclusions d'ensembles, et non de seules inclusions.
On l'a dit, l'ordre dans lequel apparaissent les prémisses n'est pas pertinent. Ce qui l'est, en revanche, c'est la répartition du sujet et du prédicat de la conclusion au sein des prémisses, indiquée par celle du moyen terme.
La forme canonique d'un syllogisme est [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P). Dans ce cas, le moyen terme est sujet de la majeure et prédicat de la mineure. Cela dessine ce que l'on nomme la première figure, dans laquelle le terme majeur est prédicat de la prémisse majeure et le terme mineur sujet de la prémisse mineure. Trois autres figures sont cependant possibles :
Ces figures ont une importance dans la recherche des modes concluants car elles déterminent, outre la place du prédicat, celle des termes majeurs et mineurs ; or, selon qu'un terme est sujet ou prédicat, et selon la qualité de la proposition (affirmative ou négative), l'extension de ce terme varie. Si l'on se souvient que le syllogisme fonctionne sur l'inclusion de classes au sein d'autres classes, l'on comprend que l'extension des termes soit fondamentale : dire que tous les hommes sont mortels, or les Grecs sont des hommes donc les Grecs sont mortels nécessite que les ensembles hommes, mortels et Grecs soient pris dans la même extension d'un bout à l'autre du syllogisme ou au moins dans une extension moindre dans la conclusion. Si, par exemple, Grecs correspondait dans les prémisses à seulement les Grecs de Béotie et dans la conclusion à tous les Grecs, le syllogisme n'aurait aucun sens : la classe tous les Grecs n'est pas incluse dans la classe Grecs de Béotie. Sachant que l'extension des termes change selon la qualité de la proposition et leur place en son sein, il convient, si l'on veut respecter leur identité d'un bout à l'autre du syllogisme, de connaître les règles suivantes:
En effet, dans:
On peut aussi résumer les questions d'extension en considérant les classes de propositions:
| Classe de proposition | Sujet de la proposition | Prédicat de la proposition |
|---|---|---|
| A (universelle affirmative) | universel | particulier |
| E (universelle négative) | universel | universel |
| I (particulière affirmative) | particulier | particulier |
| O (particulière négative) | particulier | universel |
L'extension des sujets et des prédicats, on le verra plus bas, joue dans la détermination des modes concluants.
Sachant qu'il existe quatre classes de propositions (A, E, I et O), qu'un syllogisme se compose de trois propositions et que le moyen terme dessine quatre figures, il existe donc 4³ × 4 = 256 modes. De ces deux cent cinquante-six, seuls vingt-quatre sont valides, ou concluants (six par figure), mais seuls dix-neuf sont en général retenus, et ceci depuis Théophraste. Cependant, Leibniz, dans son De Arte Combinatoria (1666), prend en compte les cinq autres, ces derniers ayant des conclusions particulières subalternes de conclusions universelles d'autres syllogismes.
Afin de dresser la liste des modes concluants, plusieurs règles (que l'on déduit d'autres règles logiques concernant l'extension des termes; voir plus bas) sont à considérer :
De sorte, il est possible de recenser les modes concluants. Ceux-ci sont depuis le Moyen Âge désignés par des noms sans signification dont les voyelles indiquent les classes des propositions. Ainsi, le syllogisme Barbara doit se comprendre comme étant composé de deux prémisses et d'une conclusion affirmatives et universelles (A).
On peut représenter les différents modes sous la forme de diagrammes de Venn. Le tableau suivant recense les diagrammes des 24 modes concluants, répartis sur quatre lignes correspondant aux quatre figures. Les modes de syllogismes présentant le même contenu sont représentés sur la même colonne.
 Barbara |
 Celarent |
 Darii |
 Ferio |
 Barbari |
 Celaront |
||||||||
 Cesare |
 Camestres |
 Festino |
 Baroco |
 Cesaro |
 Camestros |
||||||||
 Datisi |
 Disamis |
 Ferison |
 Bocardo |
 Felapton |
 Darapti |
||||||||
 Calemes |
 Dimatis |
 Fresison |
 Calemos |
 Fesapo |
 Bamalip |
Note : les noms de ces modes peuvent varier ; les logiciens de Port-Royal les disent « Barbari », « Calentes », « Dibatis », « Fespamo » et « Fresisom ».
Schéma: [(M ⊂ P) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P); ces modes sont dits « parfaits » parce qu'Aristote s'en est servi pour démontrer le caractère concluant des modes des autres figures (ou « modes imparfaits »). En effet, tout syllogisme peut se ramener à l'un des quatre modes parfaits. Chacun de ces modes donne une conclusion d'une des classes :
Cette figure, ou catégorie de syllogismes, n'a que deux règles qui lui soient propres :
Deux syllogismes, bien que formellement valides, ne sont généralement pas retenus. Le premier (AAI) est subalterne de Barbara, le second (EAO) est subalterne de Celarent. Les conclusions qu'ils proposent sont affaiblies[3], et leur intérêt est donc limité :
Schéma : [(P ⊂ M) ∧ (S ⊂ M)] ⇒ (S ⊂ P) ; tous ces modes ont une conclusion négative :
Les deux syllogismes AEO (Camestrop) et EAO (Cesaro), bien que valides, ne sont généralement pas retenus, car subalternes de Camestres et Cesare, dont ils ne sont que des formes affaiblies.
Cette figure ou catégorie de syllogismes a deux règles qui lui sont propres :
Schéma : [(M ⊂ P) ∧ (M ⊂ S)] ⇒ (S ⊂ P) ; chacun des modes de cette figure implique une conclusion particulière :
Les syllogismes de cette figure obéissent à deux règles.
Schéma : [(P ⊂ M) ∧ (M ⊂ S)] ⇒ (S ⊂ P) ; la conclusion des modes de cette figure ne peut pas être universelle affirmative. Les modes galéniques n'ont pas été reconnus concluants par Aristote.
Les syllogismes appartenant à cette catégorie sont soumis à trois règles :
Le syllogisme AEO (Calemop), bien que valide, n'est généralement pas retenu, car subalterne de Camenes.
On a indiqué plus haut des règles communes à toutes les figures permettant de repérer les modes concluants sans en expliquer les raisons profondes, si ce n'est évoquer l'importance de l'extension des termes. Ainsi, comment expliquer qu'un Bamalip galénique (tout P est M, or tout M est S, donc quelque P est S) est concluant mais pas un éventuel « Bamalap » galénique (tout P est M, or tout M est S, donc tout S est P) ?
Il faut, pour ce faire, étudier par le menu les règles de formation des syllogismes.
L'extension des termes de la conclusion (ses sujet et prédicat) ne peut dépasser celle qu'ils ont dans les prémisses. Puisque la conclusion découle des prémisses, il faut que les ensembles qui y sont désignés soient ou les mêmes ou des plus petits pour que le jeu d'inclusion de classes au sein d'autres classes fonctionne. Cela explique pourquoi le mode Bamalip (tout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P) de la quatrième figure ne peut avoir de conclusion universelle : dans cette figure, le terme mineur (sujet de la conclusion) est toujours prédicat, or, dans ce mode, il est pris en particulier puisque la proposition est affirmative. Il doit donc être particulier dans la conclusion.
Le moyen terme assurant le rapport entre les termes de la conclusion, celui-ci doit au moins une fois être utilisé sous son extension universelle. En effet, ce rapport ne fonctionne que si le moyen terme possède une identité claire. Or, si le moyen terme n'était considéré deux fois qu'en partie, rien ne permettrait d'affirmer que ces deux parties sont identiques ou que l'une est incluse dans l'autre. Ceci explique pourquoi les syllogismes de la deuxième figure, dans lesquels le moyen terme est toujours prédicat, donc pris particulièrement, ne peuvent suivre un schéma AAA : rien n'indique que dans les deux prémisses ce moyen terme serait le même : les cerises sont sphériques, or les yeux sont sphériques, donc les yeux sont des cerises. Dans les prémisses, les deux classes des objets sphériques évoqués ne se recoupent pas : le rapport entre le terme mineur et le majeur ne peut être assuré en l'absence d'un moyen terme non ambigu.
Ce cas de figure est impossible. En effet, dans le cas où les deux prémisses seraient affirmatives particulières, tous les termes seraient particuliers (voir tableau plus haut), dont le moyen. Or, le moyen terme doit obligatoirement être pris au moins une fois universellement (voir plus haut).
Dans le cas où l'une des deux prémisses serait négative particulière (deux négatives étant impossibles ; voir plus bas), la conclusion devrait être négative, le prédicat P de la conclusion serait donc universel, et le syllogisme devrait contenir au moins deux termes universels, P et M. Le prédicat de la prémisse négative est universel, mais seule une prémisse universelle permettrait d'obtenir un sujet universel.
Le sujet et le prédicat de la conclusion étant mis en rapport par le moyen terme, si ce rapport est nié deux fois, on ne peut naturellement établir de lien. Ainsi, il ne peut exister de syllogisme EEE ou OOO (ou un mélange quelconque de ces deux classes), qui ressemblerait à cela : aucun animal n'est immortel, or aucun dieu n'est un animal, donc aucun dieu n'est immortel.
Deux prémisses affirmatives unissent les termes de la conclusion par le moyen terme. On ne peut donc obtenir une conclusion négative, c'est-à-dire une absence de lien entre les termes. Cela exclut tous les modes AAE, AAO, IIE, AIE, IIO, etc.
On entend par « faible » une hiérarchie au sein des qualités et des quantités :
Lorsque une des prémisses est négative (le cas où deux prémisses seraient négatives n'étant pas possible; voir plus haut), le rapport établi par le moyen terme entre le terme majeur et le mineur est double : l'une des classes est incluse ou identique à celle du moyen terme, l'autre est exclue du moyen terme. Il ne peut donc y avoir d'union entre le majeur et le mineur.
De même, à supposer qu'une conclusion soit universelle affirmative, ses prémisses devront aussi être affirmatives et contenir chacune un terme universel, l'extension des termes de la conclusion ne pouvant dépasser celle des termes des prémisses. Si la conclusion est universelle négative, il faut que les prémisses contiennent trois termes universels, soient une négative (prédicat universel), et deux sujets universels.
Ces règles permettent d'expliquer le caractère concluant de tous les modes syllogistiques en excluant ceux qui ne seraient pas convaincants du fait de l'extension des termes. L'utilisation de syllogismes non concluants se rencontre cependant souvent dans le cadre de l'argumentation ; on parle dans ce cas de sophisme, la plupart du temps par généralisation, ou sophisme secundum quid.
Les quatre modes de la première figure, Barbara, Celarent, Darii, Ferio sont dits parfaits car le terme moyen y occupe une position médiane (sujet dans la majeure, prédicat dans la mineure). En outre, tous les autres modes peuvent s'y ramener au moyen de transformations élémentaires des propositions. L'initiale des modes parfaits B, C, D, F utilisent les premières lettres de l'alphabet, autres que A et E déjà prises pour désigner les universelles affirmatives et négatives.
Le nom des autres modes a été choisi de façon à pouvoir désigner le mode parfait vers lequel on peut les réduire ainsi que les transformations pour y parvenir.
La connaissance des quatre syllogismes parfaits et des moyens d'y ramener les autres modes concluants permettait au logicien scolastique d'alléger la mémorisation des dix-neuf syllogismes.
Voici quelques exemples :
Ferison est le syllogisme nul M n'est P, or quelque M est S, donc quelque S est non-P. On le prouve en transformant simplement la deuxième prémisse en quelque S est M. L'application de Ferio (nul M n'est P, or quelque S est M, donc quelque S est-non P) conduit à la conclusion voulue.
Fesapo est le syllogisme énonçant que : nul P n'est M, or tout M est S, donc quelque S est non-P. On prouve sa validité en le transformant en Ferio (nul M n'est P, or quelque S est M, donc quelque S est non-P) au moyen des deux transformations suivantes:
On déduit donc des prémisses de Fesapo que nul M n'est P, or quelque S est M, donc (Ferio) quelque S est non-P.
Bamalip est le syllogisme tout P est M, or tout M est S, donc quelque S est P. On procède à:
Camestres est le syllogisme tout P est M, or nul S n'est M, donc nul S n'est P. Il se ramène à Celarent (nul M n'est P, or tout S est M, donc nul S n'est P) au moyen de :
Baroco est le syllogisme tout P est M, or quelque S est non-M, donc quelque S est non-P. Prouvons le par l'absurde: si la conclusion était fausse, alors on aurait tout S est P. Mais l'application de Barbara sur tout P est M, or tout S est P conduit à la conclusion tout S est M, en contradiction avec la deuxième prémisse de Baroco. La conclusion de Baroco quelque S est non-P est donc nécessairement exacte.
Un faux syllogisme, c'est-à-dire un « sophisme » ou un « paralogisme » selon qu'il soit volontaire ou non, est un syllogisme invalide, donnant lieu à un paradoxe. Il se produit lorsqu'une conclusion absurde est déduite de prémisses semblant correctes mais n'obéissant pas aux règles d'inclusion.
Voici un exemple de faux syllogisme :
| Termes | |||
|---|---|---|---|
| Prémisse majeure | moyen | majeur | |
| Toutes les choses rares | sont | chères | |
| or... | |||
| Prémisse mineure | mineur | moyen | |
| Un cheval bon marché | est | rare | |
| donc... | |||
| Conclusion | mineur | majeur | |
| Un cheval bon marché | est | cher | |
Dans cet exemple « bon marché » signifiant le contraire de « cher » la conclusion est fausse. On devra abandonner la première croyance.
Le paradoxe du fromage à trous en est un autre exemple. Voir aussi Apagogie/Raisonnement par l'absurde.
Dom Juan, dans la pièce éponyme de Molière déclare à son valet: « l'hypocrisie est un vice à la mode, et tous les vices à la mode passent pour vertus »[9]. Si ce syllogisme est faux (du fait de l'ajout de la qualité « à la mode »), il constitue un bon exemple du pouvoir de l'argumentation. En effet, le valet Sganarelle, qui ne sait que répondre, illustre la réaction humaine face à une illusion qui semble mathématiquement correcte.
John Stuart Mill (et avant lui, Sextus Empiricus) évoque les limites du syllogisme en remarquant que dans la pratique un syllogisme déductif est rarement applicable sans une part plus ou moins escamotée d'induction.
Ainsi, le célèbre syllogisme
repose sur la validité de la prémisse « tous les hommes sont mortels », qui n'est pas vérifiable[10]. Par conséquent, le syllogisme classique est lui-même un paralogisme : aucune vérité particulière ne peut être inférée de principes généraux puisque c'est au contraire l'ensemble des premières qui doivent être démontrées pour garantir la validité des seconds.
On a pu jadis croire qu'un syllogisme expliquait quelque chose sur le monde réel à une époque où l'on croyait aux essences, c'est-à-dire où on pensait que le mot définissait la chose, et non l'inverse (voir Induction (logique), Réalisme vs. Nominalisme).
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